Gorelim matematikçileriii?

21 birin cevabı

*Çözüm:*


Bu bir bağıl hız + türev sorusu. Halise ile Deniz arası en kısa olduğunda, Deniz’in C’ye uzaklığını soruyor.


*1. Koordinat kur*


$t = 0$ anında Halise A’da, Deniz B’de olsun.
$[AB] \perp [BC]$ olduğundan koordinat yerleştirelim:


- $B$ noktası orijin: $B (0,0)$
- $A (-240, 0)$ çünkü $ AB = 240$ m ve Halise sağa gidiyor
- $C (0, 400)$ çünkü $ BC = 400$ m ve Deniz yukarı gidiyor


$t$ dakika sonra:


*Halise:* $V_1 = 20$ m/dk ile sağa gidiyor → $H (-240 + 20t,\ 0)$
*Deniz:* $V_2 = 10$ m/dk ile yukarı gidiyor → $D (0,\ 10t)$


*2. Aralarındaki mesafe*


İki nokta arası uzaklık formülü:
f (t) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
f (t) = \sqrt{(0 - (-240 + 20t))^2 + (10t - 0)^2}
f (t) = \sqrt{(240 - 20t)^2 + (10t)^2}
Karekök ile uğraşmayalım, karesi minimum olunca kendisi de minimum olur:
g (t) = (240 - 20t)^2 + 100t^2
g (t) = 57600 - 9600t + 400t^2 + 100t^2
g (t) = 500t^2 - 9600t + 57600
*3. Türev al, sıfıra eşitle*


Minimum için $g'(t) = 0$:
g'(t) = 1000t - 9600 = 0
1000t = 9600
t = 9.6 \text{ dakika}
*4. Deniz’in C’ye uzaklığı*


$t = 9.6$ dk sonra Deniz B’den yukarı $10t$ kadar çıkmış olur:
BD = 10 \times 9.6 = 96 \text{ m}
C noktası B’den 400 m yukarıda:
DC = BC - BD = 400 - 96 = 304 \text{ m}
*Kontrol*


$t = 9.6$ dk’da Halise: $-240 + 20 \times 9.6 = -240 + 192 = -48$
Yani B’ye 48 m kalmış. Dik üçgen düşün: Yatay 48, dikey 96. Mesafe $\sqrt{48^2 + 96^2}$ minimum.


*Cevap: A) 304*

Halise'nin B noktasına olan uzaklığı=240-20t

Deniz'in B noktasına olan uzaklığı=10t

Aralarındaki mesafe (d), Pisagor teoremi ile bulunur: d^2=(240-20t)^2+(10t)^2

Fonksiyonu f (t) = (240-20t)^2+100t^2 olarak alalım:
f'(t) = 2.(240-20t).(-20)+200t = 0
-40.(240-20t)+200t=0
-9600+800t+200t=0
1000t=9600
t=9,6 dakika


Deniz'in C noktasına olan uzaklığını istiyor.
Deniz t=9,6 dakikada
10×9,6=96 metre (B’den uzaklaştığı miktar)
∣BC∣=400 metre olduğuna göre, C noktasına kalan mesafe:
400−96=304 metre