Bu soruyu kimler yapabilir?

Bu tip sorular *Newton özdeşlikleri* ile çözülür. Sayılar $a, b, c$ olsun.


Verilenler:
1. $a + b + c = 1$
2. $a^2 + b^2 + c^2 = 2$
3. $a^3 + b^3 + c^3 = 6$


Bulmamız gereken: $a^4 + b^4 + c^4 = S_4$


---


1. Adım: $ab + bc + ca$ ve $abc$’yi bul


$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$


$1^2 = 2 + 2(ab+bc+ca)$
$1 = 2 + 2p$ → $p = ab+bc+ca = -\frac{1}{2}$


Küp özdeşliği:
$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)$


$6 - 3q = 1 \cdot (2 - (-\frac{1}{2})) = 1 \cdot \frac{5}{2}$
$6 - 3q = 2.5$ → $3q = 3.5$ → $q = abc = \frac{7}{6}$


2. Adım: $S_4$’ü bul


Newton özdeşliği:
$S_4 = (a+b+c) S_3 - (ab+bc+ca) S_2 + abc S_1$


Yerine koy:
$S_4 = 1 \cdot 6 - (-\frac{1}{2}) \cdot 2 + \frac{7}{6} \cdot 1$
$S_4 = 6 + 1 + \frac{7}{6}$
$S_4 = 7 + \frac{7}{6} = \frac{42}{6} + \frac{7}{6} = \frac{49}{6}$


---


*Cevap: $\frac{49}{6} \approx 8.167$*


İstersen $a, b, c$’nin kendilerini de $x^3 - x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{7}{6}=0$ denkleminden bulup kontrol edebiliriz.

49/6

küp toplamı dağılımı ya da tam kare dağılımı gibi formül ve yöntemleri bilmek gerekiyor. çok daha kısa bir çözümü var ama o matematik alanına yönelmedikçe bilinecek bir yöntem değil.